Question

【题目】（本题分）

如图， 和所在的平面互相垂直，且， ．

（Ⅰ）求证： ．

（Ⅱ）求直线与面所成角的大小的正弦值．

（Ⅲ）求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析(2) （3）

【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，即证；（2）求出平面的一个法向量，利用公式即可得到直线与面所成角的大小的正弦值，（3）求出平面的法向量，结合（2），利用公式求出二面角的大小的余弦值．

试题解析：

（Ⅰ）设，作于，连结，以点为原点， ， ， 的方向分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则， ， ， ， ，所以， ，

∴．

∴．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

显然为平面的一个法向量，

∴．

∴直线与平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）解：设平面的法向量，

则，即，

令，则， ，

∴．

．

又二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为．