Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若时，关于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) ．

【解析】试题分析：(1)首先函数的定义域要求x>0，对函数求导，针k为奇数和偶数两种情况考查导数的符号，借助导数的正负说明函数的增减性；（2）当k=2014时，写出函数f(x)的表达式，使关于的方程有唯一解，只需有唯一根，构造函数，对函数g(x)求导，令，得，研究函数个g(x)在 上的单调性和和g(x)的极小值，由于有唯一解，则要求则根据两式的结构发现可构造函数，由于 h(x)在上单增且，说明中的，从而解得 .

试题解析：

(Ⅰ) 由已知得x＞0且．

当k是奇数时， ，则f(x)在(0,+ )上是增函数;

当k是偶数时，则．

所以当x 时， ，当x 时， ．

故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．

(Ⅱ) 若，则．

记， ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；

令,得．

因为，所以（舍去），．

当时， ， 在是单调递减函数；

当时， ， 在上是单调递增函数．

当x=x2时, ， ．因为有唯一解，所以．

则 即设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得