Question

已知三个实数a，b，c，当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a²，则

b

a-2c

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a²，可得

a2

c

≤2a+3c，解得-1≤

a

c

≤3．于是

b

a-2c

=

a2 c

a-2c

=

( a c )2

a c -2

=f(

a

c

)，令

a

c

=t∈[-1，3]，可得f（t）=

t2

t-2

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a²，
∴

a2

c

≤2a+3c，
化为(

a

c

)2-2•

a

c

-3≤0，
解得-1≤

a

c

≤3．

b

a-2c

=

a2 c

a-2c

=

( a c )2

a c -2

=f(

a

c

)，
令

a

c

=t∈[-1，3]，
∴f（t）=

t2

t-2

=t+2+

4

t-2

，
∴f′(t)=1-

4

(t-2)2

=

t(t-4)

(t-2)2

．
列出表格：

t	[-1，0）	0	（0，2）	（2，3]
f′（t）	+	0	-	-
f（t）	单调递增	极大值	单调递减	单调递减

又f（-1）=-

1

3

，f（0）=0，f（3）=9．
由表格可知：f（t）∈（-∞，0]∪[9，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[9，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．