Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足cn=

1	(an+1)(an+1+1)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中a₁=1；a_n+1-a_n=1，可得数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1，进而得到数列{a_n}的通项公式；结合S_n+b_n=2，可得S_n+1+b_n+1=2，两式相减后整理可得

bn+1

bn

=

1

2

，即数列{b_n}为公比为

1

2

等比数列，根据S₁+b₁=2求出首项后，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）根据cn=

1

(an+1)(an+1+1)

，结合（1）中结论，可得数列{c_n}的通项公式，进而利用裂项相消法，可得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由已知得数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n…2分
∵S_n+b_n=2，
∴S_n+1+b_n+1=2，
两式相减得S_n+1-S_n+b_n+1-b_n=0，
即2b_n+1-b_n=0，
化简得

bn+1

bn

=

1

2

…4分
所以数列{b_n}为等比数列，…5分
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1…6分
所以b_n=

1

2n-1

 …7分
（2）由（1）可得cn=

1

(an+1)(an+1+1)

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

…10分
∴T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

(n+1)

-

1

(n+2)

）=

1

2

-

1

(n+2)

=

n

2(n+2)

 …12分．

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，是数列的综合应用，难度中档．