Question

（2013•菏泽二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以原点O为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切；若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点．直线OA和OB的斜率分别为k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：△OAB的面积为定值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的离心率为

1

2

，圆心到直线x-y+

6

=0的距离等于b及c²=a²-b²联立方程组求解a²，b²，则椭圆的方程可求；
（2）把直线l的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，代入直线方程求出两交点的纵坐标的积，结合k_OA•k_OB=-

b2

a2

得到k与m的关系，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出O到直线y=kx+m的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，整理后得到结果为定值．

解答：（1）解：由题意得

c a = 1 2 c2=a2-b2 b= |0-0+ 6 | 2

，解得a²=4，b²=3．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），则A，B的坐标满足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2

4m2-12

3+4k2

+km(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．
∵kOA•kOB=-

3

4

，∴

y1y2

x1x2

=-

3

4

，即y1y2=-

3

4

x1x2，
∴

3m2-12k2

3+4k2

=-

3

4

•

4m2-12

3+4k2

，即2m²-4k²=3．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)• 48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

24(1+k2) 3+4k2

．
O到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

|m|

1+k2

24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

m2 1+k2 • 24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

3+4k2 2 • 24 3+4k2

=

3

．为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．