题目内容
设A、B分别是直线y=
x和y=-
x上的两个动点，并且|
|=
，动点P满足
=
+
，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| AB |
| 20 |
| OP |
| OA |
| OB |
分析：设出动点P和A，B两点的坐标，根据A，B两点在直线y=
x和y=-
x上，且|
|=
，列出关于A，B的横坐标的关系式，再由
=
+
，把P点的坐标都用A，B的横坐标表示，整体代换后即可得到P点的轨迹C的方程．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| AB |
| 20 |
| OP |
| OA |
| OB |
解答：解：设P（x，y），因为A，B分别是直线y=
x和y=-
x上的点，
故可设A(x1，
x1)，B(x2-
x2)，
又|
|=
，所以(x1-x2)2+
(x1+x2)2=20①，
因为
=
+
，所以有
，即
．
代入①得：
y2+
x2=20，即曲线C的方程为
+
=1．
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
故可设A(x1，
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
又|
| AB |
| 20 |
| 4 |
| 5 |
因为
| OP |
| OA |
| OB |
|
|
代入①得：
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
点评：本题考查了曲线与方程，考查了整体运算思想，训练了代入法，解答该题的关键是由已知列出A，B两点横坐标的关系，然后转化为P点的横纵坐标的关系，是中档题．
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