题目内容

已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（
1
2
，
3
），一个焦点是F（0，-
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C交于M、N两点．试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．
（I）一个焦点是F（0，-
3
），故c=
3
，可设椭圆方程为
y2
3+b2
+
x2
b2
=1      …（2分）
∵点（
1
2
，
3
）在椭圆上，∴
3
3+b2
+
1
4b2
=1
∴b2=1，b2=
3
4
（舍去）
∴椭圆方程为
y2
4
+x2=1                      …（4分）
（II）直线MN恒经过定点Q（0，1），证明如下：
当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1），…（6分）
当点P不在y轴上时，设P（t，4），A1（0，2）、A2（0，-2），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PA1方程y=
2
t
x+2，PA2方程y=
6
t
x-2，
y=
2
t
x+2代入
y2
4
+x2=1得（1+t2）x2+2tx=0，
得x1=-
2t
1+t2
，y1=
2t2-2
1+t2
，∴kQM=
y1-1
x1
=
3-t2
2t
，…（8分）
y=
6
t
x-2代入
y2
4
+x2=1得（9+t2）x2-6tx=0
得x2=
6t
9+t2
，y2=
18-6t2
9+t2
，∴kQN=
y2-1
x2
=
3-t2
2t
，…（10分）
∴kQM=kQN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．        …（12分）
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相关题目
精英家教网如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，左右两个焦分别为F1、F2．过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）．
（1）求椭圆C和直线l的方程；
（2）若圆D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切，求实数m的值．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
2
．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围．
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．
（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且
MP
=3
PN
，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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