Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F₁，F₂，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F₁AF₂B是边长为1的正方形．
（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且

MP

=3

PN

，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中四边形F₁AF₂B是边长为1的正方形，可求出b，c值，进而求出a值，代入离心率公式和椭圆的标准方程可得答案．
（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，联立直线与椭圆方程后，可得方程有两相异的根，利用韦达定理结合

MP

=3

PN

构造关于m的不等式，解不等式可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵F₁，F₂分别为椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点
A，B为椭圆在x轴上的两个端点，且四边形F₁AF₂B是边长为1的正方形
可得b=c=

2

2

，进而a=1
故椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

，其标准方程为y2+

x2

1 2

=1
（2）∵直线l与y轴交于点P（0，m），
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+m
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

y=kx+m y2+ x2 1 2 =1

得：（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
则△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*）
且x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

∵

MP

=3

PN

∴-x₁=3x₂，则x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x₂²，
则3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
即3（

-2km

k2+2

）²+4•

m2-1

k2+2

=0
整理得：4k²m²-k²+2m²-2=0
当m²≠

1

4

时，k²=

2-2m2

4m2-1

∵

MP

=3

PN

∴k≠0
∴k²=

2-2m2

4m2-1

＞0
解得-1＜m＜-

1

2

，或

1

2

＜m＜1
经验证此时（*）式成立
故实数m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题椭圆的简单性质，是高考的压轴大题，运算量较大，难度较大．