题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
=(
，
)，
=(
，
)，且
•
=0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为椭圆C上的不同两点，已知向量
| m |
| x1 |
| b |
| y1 |
| a |
| n |
| x2 |
| b |
| y2 |
| a |
| m |
| n |
分析：（1）由题意可得b=1，e=
=
=
，即
=
，可得a=2；
（2）可判断直线AB存在斜率，设AB方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2kpx+p2-4=0，由
•
=0，得x1x2+
=0，将y1=kx1+p，y2=kx2+p代入上式并整理得，
（4+k2）x1x2+kp（x1+x2）+p2=0，代入韦达定理可得k，p的方程，根据点到直线的距离公式、弦长公式及三角形的面积公式可用k，p表示出S△AOB，消掉k后可得常数；
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
（2）可判断直线AB存在斜率，设AB方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2kpx+p2-4=0，由
| m |
| n |
| y1y2 |
| 4 |
（4+k2）x1x2+kp（x1+x2）+p2=0，代入韦达定理可得k，p的方程，根据点到直线的距离公式、弦长公式及三角形的面积公式可用k，p表示出S△AOB，消掉k后可得常数；
解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=
，短轴长为2，
∴b=1，e=
=
=
，即
=
，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为
+x2=1；
（2）若直线AB的斜率不存在，则x1=x2，y1=-y2
由
•
=0，得x1x2+
=0，即x12+
=0，
因为点A在椭圆上，所以x12+
=1，与上式矛盾，
故直线AB存在斜率，
设方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2kpx+p2-4=0，
由
•
=0，得x1x2+
=0，即4x1x2+y1y2=0，
将y1=kx1+p，y2=kx2+p代入上式并整理得
∴（4+k2）x1x2+kp（x1+x2）+p2=0，
将x1+x2=-
，x1x2=
，代入上式并整理得2p2=k2+4，
∵O到直线AB的距离为
，
∴S△AOB=
•
•|AB|=
•
•
•
=
=
=1，
综上可知，△AOB的面积为定值1．
| ||
| 2 |
∴b=1，e=
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
∴a=2，
∴椭圆C的方程为
| y2 |
| 4 |
（2）若直线AB的斜率不存在，则x1=x2，y1=-y2
由
| m |
| n |
| y1y2 |
| 4 |
| y12 |
| 4 |
因为点A在椭圆上，所以x12+
| y12 |
| 4 |
故直线AB存在斜率，
设方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2kpx+p2-4=0，
由
| m |
| n |
| y1y2 |
| 4 |
将y1=kx1+p，y2=kx2+p代入上式并整理得
∴（4+k2）x1x2+kp（x1+x2）+p2=0，
将x1+x2=-
| 2kp |
| k2+4 |
| p2-4 |
| k2+4 |
∵O到直线AB的距离为
| |p| | ||
|
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| |p| | ||
|
| 1 |
| 2 |
| |p| | ||
|
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=
|p|
| ||
| k2+4 |
|p|
| ||
| 2p2 |
综上可知，△AOB的面积为定值1．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程、平面向量数量积运算等知识，综合性强，运算量大，能力要求较高．
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