题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出
| PM |
| PC |
考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
解答：
（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图．
则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，
），B（0，
，0），C（-2，
，0），
设
=λ
（0＜λ＜1），则M(-2λ，
λ，
(1-λ))，
平面CBQ的一个法向量是
=（0，0，1），
设平面MQB的一个法向量为
=（x，y，z），
则
，
取
=(
，0，
)，（9分）
∵二面角M-BQ-C大小为60°，
∴
=
=
，
解得λ=
，此时
=
．（12分）
（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图．
则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设
| PM |
| PC |
| 3 |
| 3 |
平面CBQ的一个法向量是
| n1 |
设平面MQB的一个法向量为
| n2 |
则
|
取
| n2 |
| 3-3λ |
| 2λ |
| 3 |
∵二面角M-BQ-C大小为60°，
∴
| 1 |
| 2 |
|
| ||||
|
|
|
| ||||
1×
|
解得λ=
| 1 |
| 3 |
| PM |
| PC |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
设x=log52，y=e-
，z=
（e是自然对数的底数），则（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| A、x＜y＜z |
| B、y＜x＜z |
| C、z＜x＜y |
| D、x＜z＜y |
m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（ ）
| A、若m∥α，α∥β，则m∥β |
| B、若m∥α，m∥β，则α∥β |
| C、若m∥α，α⊥β，则m⊥β |
| D、若m∥α，m⊥β，则α⊥β |
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱和底面垂直的棱柱）中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=3，线段AC、A1B上分别有一点E、F，且满足2AE=EC，2BF=FA1．
如图，P为线段AB的垂直平分线上任意一点，O为平面内的任意一点，设
如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，
如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且