Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，且a₁=0.9，令b_n=lg（1-a_n）；
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{$\frac{1}{b_n}$}各项和．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，变形为1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$，两边取对数可得：lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n），可得：b_n+1=2b_n．即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=-2^n-1.$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．再利用无穷等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n，n∈N^*，
∴1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$，且a₁=0.9，1-a₁=0.1．
对1-a_n+1=$（{a}_{n}-1）^{2}$两边取对数可得：lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n），
∵b_n=lg（1-a_n），∴b_n+1=2b_n．
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2，首项为-1．
（2）解：由（1）可得：b_n=-2^n-1．
$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴数列{$\frac{1}{b_n}$}各项和=$\frac{\frac{1}{{b}_{1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{-1}{1-\frac{1}{2}}$=-2．

点评 本题考查了数列递推关系、数列通项公式、无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．