Question

17．设P，A，B，C是一个球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

Answer 1

分析 根据题意，分别以PA、PB、PC为长、宽、高作出正方体，求出该正方体的外接球体积，即为本题所求体积．

解答 解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，
∴分别以PA、PB、PC为长、宽、高，作出正方体，
设所得正方体的外接球为球O，则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面，
就是正方体的对角线长等于球O的直径，
即2R=$\sqrt{3}$，得R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球O的体积为S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

点评 本题给出两两垂直且相等的线段PA、PB、PC，求则P、A、B、C四点所在的球的体积，属于基础题．