Question

已知f（x）=3-

1

x

，若存在区间[a，b]⊆（

1

2

，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：若存在区间[a，b]⊆（

1

2

，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，即f（x）=3-

1

x

=mx在区间（

1

2

，+∞）上有两个不相等的实根，进而构造关于m的不等式组，解得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=3-

1

x

为增函数，
若{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
则

f(a)=ma f(b)=mb

，
即f（x）=3-

1

x

=mx在区间（

1

2

，+∞）上有两个不相等的实根，
即m=

3x-1

x2

在区间（

1

2

，+∞）上有两个不相等的实根，
令g（x）=

3x-1

x2

，则g′（x）=

x(2-3x)

x4

，
令g′（x）=0，则x=

2

3

，或x=0（舍去），
∵当x∈（

1

2

，

2

3

）时，g′（x）＞0，
当x∈（

2

3

，+∞）时，g′（x）＜0，
故g（x）=

3x-1

x2

在（

1

2

，

2

3

）上递增，在（

2

3

，+∞）递减，
若m=

3x-1

x2

在区间（

1

2

，+∞）上有两个不相等的实根，
则g（

1

2

）＜m＜g（

2

3

），
即：2＜m＜

9

4

，．
故答案为：2＜m＜

9

4

．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数值，方程根的个数，解不等式，其中将问题转化为f（x）=3-

1

x

=mx在区间（

1

2

，+∞）上有两个不相等的实根，是解答的关键．