Question

5．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$，g（x）=ax+1．（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当x∈（1，e²]时，求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；
（Ⅱ） 若h（x）=f（x）+g（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x-y-2=0垂直，求切线l方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）图象上点M处切线斜率为${f^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$，利用x∈（1，e²]，即可求函数f（x）图象上点M处切线斜率的最大值；
（Ⅱ） h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x-y-2=0垂直，h′（e）=a=-1，h（e）=1，即可求切线l方程．

解答 解：（Ⅰ）设切点M（x，f（x）），则x∈（1，e²]．
函数f（x）图象上点M处切线斜率为${f^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$…（2分）
∵$x∈（{1，\left.{e^2}]}\right.，\frac{1}{lnx}∈[{\frac{1}{2}}\right.，\left.{+∞}）$，…（4分）
∴${f^'}（x）=-{（{\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，
∴$当\frac{1}{lnx}=\frac{1}{2}时，即x={e^2}，{f^'}{（x）_{max}}=\frac{1}{4}$…（6分）
（Ⅱ）∵$h（x）=\frac{x}{lnx}+ax+1$，${h^，}（x）=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$，…（8分）
又h（x）在点（e，h（e））处的切线l与直线x-y-2=0垂直．
∴h′（e）=a=-1，h（e）=1，…（10分）
切线l的方程为x+y-1-e=0…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．