Question

14．如如，在三棱锥A-BCD中，AB=AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F分别是BD，CD的中点．
（1）求证：CD⊥平面AEF；
（2）已知AB=4，BC=2，CD=2$\sqrt{3}$，求三棱锥B-AEF的高．

Answer 1

分析 （1）通过证明AE⊥平面BCD，即可证明AE⊥CD，由点E，F分别是BD，CD的中点，可证EF⊥CD，即可证明CD⊥平面AEF；
（2）由于V_B-AEF=V_A-BEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AE，分别求出S_△BEF，在Rt△AEF中，求出S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•EF=$\sqrt{3}$，设三棱锥B-AEF的高为h，由V_B-AEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•h，即可求得三棱锥B-AEF的高．

解答 解：（1）∵AB=AD，点E为BD的中点，
∴AE⊥BD，…1分
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，…2分
∵CD?平面BCD，
∴AE⊥CD，…3分
∵点E，F分别是BD，CD的中点．
∴EF∥BC，
∵BC⊥CD，
∴EF⊥CD，…5分
∵EF∩AE=E，EF，AE?平面AEF，
∴CD⊥平面AEF；…6分
（2）由（1）可知AE⊥平面BCD，
∴线段AE的长就是点A到平面BCD的距离，
又∵EF?平面BCD，
∴AE⊥EF，
在Rt△BCD中，BC=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=4，
∴AB=AD=BD=4，故△ABD是边长为4的等边三角形，
又∵AE⊥BD，E为BD的中点，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又点E，F分别是BD，CD的中点．
∴EF∥BC，且EF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴S_△BEF=$\frac{1}{4}$S_△BCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
V_B-AEF=V_A-BEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AE=1，
在Rt△AEF中，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•EF=$\sqrt{3}$，
设三棱锥B-AEF的高为h，
则由V_B-AEF=$\frac{1}{3}$S_△BEF•h，可得：h=$\frac{3{•V}_{{B}_{-AEF}}}{{S}_{△AEF}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
故三棱锥B-AEF的高为$\sqrt{3}$…12分

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥的结构特征，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．