Question

（2013•枣庄二模）F₁，F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，过点F₂作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|

MF1

|=

2

|

MF2

|，则此双曲线的渐近线方程是（　　）

• A．y=±2x
• B．y=±

  1

  2

  x
• C．y=±

  2

  x
• D．y=±

  2

  2

  x

Answer 1

分析：依题意，可求得：|MF₂|=b，|MF₁|=

2

b；继而通过解方程组求得M点的坐标是：M（

a2

c

，

ab

c

），由|MF1|2=(c+

a2

c

)2+(

ab

c

)2=2b²，可求得b=2a，从而可求得该双曲线的渐近线方程．

解答：解：设过F₂（c，0）向渐进线y=

b

a

x，即bx-ay=0作垂线，则有：|MF₂|=

|bc-a×0|

a2+b2

=

bc

c

=b，
那么有|MF₁|=

2

b．
直线MF₂的斜率k=-

a

b

，则MF₂的方程是y=-

a

b

（x-c），
与y=

b

a

x联立解得M点的坐标是：M（

a2

c

，

ab

c

）．
所以|MF1|2=(c+

a2

c

)2+(

ab

c

)2=2b²，
即c²+

a4

c2

+2a²+

a2b2

c2

=2b²，
∴c²+

a2(a2+b2)

c2

+2a²=2b²，
∵a²+b²=c²，
∴a²+b²+a²+2a²=2b²，
∴b²=4a²．又a＞0，b＞0，
∴b=2a．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

=±2x．
故选A．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与方程思想，求得M点的坐标是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．