Question

已知向量

a

=(-1，sin

α

2

)与向量

b

=(

4

5

，2cos

α

2

)垂直，其中α为第二象限角．
（1）求tanα的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若b2+c2-a2=

2

bc，求tan（α+A）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出方程，利用同角三角函数的平方关系求出α的余弦，利用商数关系求出α的正切．
（2）利用三角形中余弦定理求出A的值，利用两角和的正切公式求出α+A的正切值．

解答：解：（1）∵

a

=(-1，sin

α

2

)，

b

=(

4

5

，2cos

α

2

)，

a

⊥

b

∴

a

•

b

=-

4

5

+2sin

α

2

cos

α

2

=0，即sinα=

4

5

．（3分）
∵α为第二象限角，
∴cosα=-

1-sin 2α

=-

3

5

，tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

．（6分）
（2）在△ABC中，∵b2+c2-a2=

2

bc，∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

．（9分）
∵A∈（0，π），∴A=

π

4

，tanA=1，（11分）
∴tan(α+A)=

tanα+tanA

1-tanαtanA

=-

1

7

．（14分）

点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查向量的数量积公式；考查同角三角函数的平方关系，商数关系；考查三角形中的余弦定理．