Question

3．在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E．
（1）使得∠PED=90°
（2）使∠PED为锐角．证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先当AB≤$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上存在点E使∠PED=90°，当AB＞$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上不存在点E使∠PED=90°．进一步利用直径所对的圆周角为90°得到结论．
（2）利用线面垂直与线线垂直之间的转化得到结论．

解答 解：①当AB≤$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上存在点E使∠PED=90°，
当AB＞$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上不存在点E使∠PED=90°．
证明：当AB≤$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上存在点E使∠PED=90°，当AB＞$\frac{1}{2}$AD时，在边BC上不存在点E使
∠PED=90°．因为以AD为直径的圆与BC无交点．
②连接BD，做AF⊥BD，垂足为F，连接PF，
由于PA⊥平面ABCD，又△ABD为直角三角形，
所以，F在BD上，
所以：∠PBF为锐角．
进一步得到：∠PED为锐角．

点评 本题考查的知识要点：点的存在性问题，线面垂直与线线垂直之间的转换．