Question

【题目】已知.

（1）当时，的值域是，试求实数的值；

（2）设关于的方程的两个实根为；试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或.

【解析】

（1）通过求导，判断函数的单调区间，再由函数最小值列出方程解出的值；（2）化简，利用韦达定理求出，则问题等价于：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立，设，根据的范围可得的最大值，代入不等式，将其看作关于的一次函数，再讨论求出的取值范围即得.

（1）由题，，

当时，函数在区间是单调递增，故，解得：.

当时，，在区间单调递减，在单调递增，

则在处取得最小值，故，，无解.

综上，.

（2）由题得，，化简整理得.

，方程有两个非零实根，

可得，则有==，

本题等价于是否存在，使不等式

——①

对任意，恒成立.

把看作关于的函数，则①式等价于

——②

，，从而②式转化为

3，

即——③

对恒成立，

把③式的左边看作的函数，记=，

若，③式显然不成立；

若，是的一次函数，要使对恒成立，只要和同时成立即可，解不等式组

，

得或.

故存在实数，使不等式对任意，恒成立，其取值范围是或.