题目内容
【题目】已知圆C的圆心在直线
上，且圆C与x轴交于两点
，
.
（1）求圆C的方程；
（2）已知圆M:
，设
为坐标平面上一点，且满足:存在过点且互相垂直的直线
和
有无数对，它们分别与圆C和圆M相交，且圆心C到直线的距离是圆心M到直线的距离的2倍，试求所有满足条件的点的坐标
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
（1）圆心
在
上，从而得到圆心坐标和半径，得到圆的方程；（2）根据题意设直线
斜率为
，表示出和
的方程，从而表示出圆心C到直线的距离和圆心M到直线的距离，整理后与无关，得到
，
的方程组，解得
的坐标.
（1）因为
，
在圆上，
所以圆心在弦
的垂直平分线上.
由
即
，
即
，
，
故圆的方程为
（2）由题意知直线和的斜率均存在，和互相垂直，设斜率为，
设点，直线
，直线
，
则点
到直线的距离是点
到直线的距离的2倍，
从而
，
化简得
或
，
又因为关于的方程有无数多解，
则
或
，
解得
或
，
故点
的坐标为或.
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