Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=

1

2

AA₁=1，D是棱AA₁的中点．
（1）证明：三角形BDC₁为直角三角形；
（2）证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（3）求三棱锥A-BDC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意知AB=

2

，BD=

3

，由此利用勾股定理能求出BD2+DC12=BC12，由此能证明△BDC₁是直角三角形．
（2）在矩形ACC₁A₁中，CD=DC₁=

2

，从而C₁D⊥DC，由（1）知C₁D⊥BD，由此能证明平面BDC₁⊥平面BDC．
（3）由V_A-BDC=V_D-ABC，利用等积法能求出三棱锥A-BDC的体积．

解答： （1）证明：由题意知AB=

2

，
在Rt△ABD中，AD=1，AB=

2

，∴BD=

3

，
在Rt△A₁DC₁中，C₁D=

A1D2+A1C12

=

2

，
在Rt△BCC₁中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，
∴BD2+DC12=BC12，
∴△BDC₁是直角三角形．
（2）证明：在矩形ACC₁A₁中，CD=DC₁=

2

，
∴DC2+DC12=CC12，
△C₁DC是直角三角形，∴C₁D⊥DC，
由（1）知C₁D⊥BD，DC∩BD=D，
∴DC₁⊥平面BDC，
又DC₁?平面BDC₁，∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（3）解：∵AC=BC=

1

2

AA₁=1，D是棱AA₁的中点，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
又DA⊥平面ABC，
∴三棱锥A-BDC的体积为：
V_A-BDC=V_D-ABC=

1

3

×S△ABC×DA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

点评：本题考查三角形为直角三角形和证明，考查平面和平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．