Question

【题目】在中， ， ， ， 是中点（如图1）.将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.

（1）将沿折起的过程中， 平面是否成立？并证明你的结论；

（2）若与平面所成的角为60°，且为锐角三角形，求平面和平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）当DP1⊥DA时，CD⊥平面P1DA．由余弦定理得DC2=4，由勾股定理得DC⊥AD．即得到将△PCD沿CD折起的过程中，当DP1⊥DA时，CD⊥平面P1DA．（2）先证明在平面内的射影必在棱上，再建系，得到两个平面的法向量，得到两个法向量的夹角进而得到两个面的夹角。

解析：

（1）将沿折起过程中， 平面成立，

证明：∵是中点，∴，

在中，由余弦定理得，

.

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形且，

∴， ，

∴平面.

（2）由（1）知平面， 平面，

∴平面平面，

∵为锐角三角形，∴在平面内的射影必在棱上（如图），

∴平面，

则是和平面所成的角，

故，

∵，

∴为等边三角形， 为中点，

故以为坐标原点，过点与平行的直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴建立如图所示坐标系.

设轴于交于点，

∵，∴ ，

易知，

∴，

则， ， ， ，

， ， ， ，

∵平面，

∴可取平面的法向量，

设平面的法向量，平面和平面所成的角为，

则，∴得

令，则，

从而.