Question

【题目】已知函数（其中）.

（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值范围;

（3）设，且函数有极大值点，求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析。

【解析】试题分析：

（1）根据导数的几何意义可得所求的切线方程．（2）由题意分离参数可得在上恒成立，设，利用导数可求得，故，解得，即为所求范围．（3）将求导后由及根与系数的关系可得极大值点，然后得到， ．设，求导可得在上单调递减，故，即不等式成立．

试题解析：

（1）当时， ， ，

∴，

∴，

又，

∴所求的切线方程为，

即

（2）有题意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

∵，

∴在上恒成立，

令，则

∴当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减．

∴当时， 取得极大值，也为最大值，且，

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

（3）证明：由题意得， ，

∴，

①当时， ， 单调递增，无极值点．不符合题意；

②当或时，设的两根为和，

∵为函数的极大值点，

∴，

由， ，知， ，

又由，得，

∵， ，

令，

则，

令, ，

则，

∴当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减．

∴，

∴

∴在上单调递减，

∴，

∴．