Question

已知函数f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m.

(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析 　(1)f(x)＝－x²＋8x＝－(x－4)²＋16，

当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，

h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)²＋8(t＋1)

＝－t²＋6t＋7；

当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；

当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

h(t)＝f(t)＝－t²＋8t.

综上，h(t)＝.

(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．

∵φ(x)＝x²－8x＋6lnx＋m，

∴φ′(x)＝2x－8＋＝

＝　(x>0)．

当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数；

当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数；

当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0.

∴φ(x)_极大值＝φ(1)＝m－7，

φ(x)_极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.

∵当x充分接近0时，φ(x)<0；

当x充分大时，φ(x)>0.

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需

，即7<m<15－6ln3.

所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．