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证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.

思路分析:证明本例所依据的大前提是增函数的定义,即函数满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2).小前提是f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1］满足函数的定义,这是证明本例的关键.

证明:任取x1,x2∈(-∞,1］,且x1＜x2,

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)

=(x2-x1)(x2+x1-2).

∵x1＜x2,∴x2-x1＞0;

∵x1,x2≤1,x1≠x2,∴x2+x1-2＜0.

因此f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).

于是,根据“三段论”,得f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函数.

练习册系列答案
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已知不等式（x-1）2≤a2，（a＞0）的解集为A，函数f(x)=lg
x-2
x+2
的定义域为B．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明函数f(x)=lg
x-2
x+2
的图象关于原点对称．
已知函数f(x)=
1
x
-2．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数f(x)=
1
x
-2在（0，+∞）上是减函数．
（1）证明函数f(x)=
1
x
的奇偶性．
（2）用单调性的定义证明函数f(x)=
1
x
在（0，+∞）上是减函数．
用定义法证明函数f(x)=x+
9x
在区间[3，+∞）上为增函数．
探究f(x)=x+
1
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：
x
…
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4
…
y
…
17
4
10
3
5
2
 2
5
2
10
3
17
4
…
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
（1）若x1x2=1，则f（x1）
 
f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+
1
x
，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间
 
上单调递增．
（2）当x=
 
时，f(x)=x+
1
x
，(x＞0)的最小值为
 
．
（3）证明函数f(x)=x+
1
x
在区间（1，+∞）上为单调增函数．

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