Question

18．求函数y=2asinx-cos²x+a²+2的最大值M（x）和最小值m（x）．

Answer 1

分析 化简函数的解析式为y═（sinx+a）²+1，再利用二次函数的性质，分类讨论求得函数的最大值M（x）和最小值m（x）．

解答 解：函数y=2asinx-cos²x+a²+2=2asinx-（1-sin²x）+a²+2=sin²x+2asinx+a²+1
=（sinx+a）²+1，
当-a＜-1，即a＞1时，函数的最大值M（x）=（a+1）²+1，最小值m（x）=（a-1）²+1．
当-a＞1，即a＜-1时，函数的最大值M（x）=（a-1）²+1，最小值m（x）=（a+1）²+1．
当-a∈[-1，0）时，即 a∈（0，1]时，函数的最大值M（x）=（a+1）²+1，最小值m（x）=1．
当-a∈[0，1]时，即 a∈[-1，0]时，函数的最大值M（x）=（a-1）²+1，最小值m（x）=1．

点评 本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质应用，属于中档题．