Question

在△ABC中，若sin（2π-A）=-

2

sin（π-B），

3

cosA=-

2

cos（π-B），则△ABC的三个内角中最小角的值为

π

6

．

Answer 1

分析：利用诱导公式化简已知的两等式，得到的关系式分别记作①和②，①²+②²，并利用同角三角函数间的基本关系化简，得出cos²A的值，开方可得cosA的值，同时由

①

②

，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到tanA与tanB的关系，再利用正弦定理化简关系式①，得到a与b的关系，可得a大于b，根据三角形中大边对大角可得A大于B，然后由cosA的值分两种情况考虑：当cosA为正值时，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求得tanA的值，可得tanB的值，由A大于B，得到B为最小角，可得三角形最小角的度数；当cosA为负值时，利用特殊角的三角函数值求出A为钝角，进而得到tanA值为负，可得tanB的值也为负值，进而确定出B为钝角，三角形中不能有两角为钝角，故此情况不成立，综上，得到三角形最小角的度数．

解答：解：把已知的等式化简得：-sinA=-

2

sinB，即sinA=

2

sinB①，

3

cosA=

2

cosB②，
①²+②²得：sin²A+3cos²A=2sin²B+2cos²B，即1+2cos²A=2，
∴cos²A=

1

2

，即cosA=

2

2

或cosA=-

2

2

，
又

①

②

得：tanA=

3

tanB，
利用正弦定理化简①得：a=

2

b，即a＞b，则有A＞B，
若cosA=

2

2

时，A=

π

4

，即tanA=1，
则有tanB=

3

3

，此时B为最小角，
∴B=

π

6

；
若cosA=-

2

2

时，A=

3π

4

，即tanA=-1，则有tanB=-

3

3

，
∴B=

5π

6

，矛盾，
故cosA=-

2

2

不成立，
综上，△ABC的三个内角中最小角的值为

π

6

．
故答案为：

π

6

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的思想，解题的关键是灵活变换已知的两等式．