Question

在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A（-1，3）．
（1）若OA⊥OB，求tanα的值．
（2）若B点横坐标为，求S_△AOB．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角函数的定义，设B（cosα，sinα），其中．根据OA⊥OB，利用向量的数量积为零列式，可得cosα=3sinα，再由同角三角函数的商数关系可求出tana的值．
（2）根据题意，求出B的坐标为（，），从而得到向量、的数量积，然后运用夹角公式算出cos∠AOB=，再用同角三角函数的平方关系算出sin∠AOB=，最后根据||=1、||=运用正弦定理的面积公式，即可得到S_△AOB的值．
解答：解：∵点B在单位圆上，且在第一象限
∴设B（cosα，sinα），
（1）∵OA⊥OB，
∴•=0，即-cosα+3sinα=0，
可得cosα=3sinα，所以tanα==；
（2）∵B点横坐标为，
∴cosα=，可得sinα==（舍负）
因此B的坐标为（，）
∵A（-1，3），可得||==
∴cos∠AOB===
由此可得，sin∠AOB==
因此，S_△AOB=||•||sin∠AOB=××1×=．
点评：本题给出单位圆与角α在第一象限的交点为A，求α的正切值，并求三角形AOB的面积．着重考查了三角函数的定义、同角三角函数基本关系和向量数量积公式、夹角公式等知识，属于基础题．