Question

F₁，F₂是椭圆

x2

2

+y2=1的两个焦点，过F₂作倾斜角为

π

4

的弦AB，则△F₁AB的面积为

4

3

．

Answer 1

分析：由题意可得F₂（1，0），直线AB的方程为y=x-1，与椭圆

x2

2

+y²=1联立，可求得A，B两点的坐标，从而可求得△F₁AB的面积．

解答：解：依题意得，a=

2

，b=1，c=1，
∴F₂（1，0），直线AB的方程为y=x-1，
由

y=x-1 x2 2 +y2=1

得3y²+2y-1=0，方程的解即为A，B两点的纵坐标，
∴y_A=-1，y_B=

1

3

．
∴S△ABF1=

1

2

|F₁F₂|•|y_A-y_B|
=

1

2

×2c×|-1-

1

3

|
=

1

2

×2×

4

3

=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，通过联立直线AB的方程与椭圆

x2

2

+y²=1求得A，B两点的坐标是关键，（也可用弦长公式求得|AB|，再利用点到直线的距离公式求得点F₁到直线|AB|的距离，从而可求S△ABF1）考查转化思想与方程思想的运用，属于中档题．