Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2） 当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A、f（sin

  π

  6

  ）＜f（cos

  π

  6

  ）
• B、f（sin1）＜f（cos1）
• C、f（cos

  2π

  3

  ）＜f（sin

  2π

  3

  ）
• D、f（cos2）＜f（sin2）

Answer 1

分析：先将区间[1，3]分解为[1，2]和∈（2，3]两部分，去绝对值讨论出函数的单调性，再观察题设条件与选项．选项中的数都是（-1，1）的数，故利用f（x）=f（x+2）找出函数在（-1，1）上的单调区间，用单调性比较大小．

解答：解：x∈[1，2]时，f（x）=x，故函数f（x）在[1，2]上是增函数，
    x∈（2，3]时，f（x）=4-x，故函数f（x）在[2，3]上是减函数，
    又定义在R上的f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2
    所以函数f（x）在（-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
    观察四个选项：A中sin

π

6

＜cos

π

6

＜1，故A不对；
     B选项中0＜cos1＜sin1＜1，故B为真命题；
     C选项中 f（cos

2π

3

）=f（-

1

2

）=f（

3

2

）=

3

2

，f（sin

2π

3

）=f（

3

2

）=f（2+

3

2

）=2-

3

2

，故C为假命题；
    D选项中 f（cos2）=2-cos2＞2＞f（sin2）=2-sin2  
     综上，选项B是正确的．
     故选B．

点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，属于中档题．将函数的表达式化为分段的形式，再将所给的区间平移至（-1，1），进而利用单调性来比较函数值的大小，是处理函数的周期性常用方法．