Question

设抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，如下图，证明直线AC经过原点O．

Answer 1

答案：
解析：

证明：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F(，0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋， 　　代入抛物线方程，得y2－2pmy－p2＝0． 　　若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2． 　　因为BC∥x轴，且点C在准线x＝上， 　　所以点C的坐标为(，y2)． 　　故直线CO的斜率为k＝＝＝， 　　即k也是直线OA的斜率． 　　所以直线AC经过原点O． 　　解析：要证直线AC经过原点，只需证kOA＝kOC即可．要得C点坐标需得A、B两点的坐标． 　　由AB过焦点F，可设出方程解方程组．