Question

设抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A、B两点，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求证：y₁y₂＝－p²；

(2)求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(1)设MA、MF、MB的斜率分别为k₁、k、k₂，A(x₁，y₁)，?B(x₂，y₂)，M(－，m)，

　　直线l的方程为：x＝ty＋，由得y²－2pty－p²＝0，故y₁y₂＝－p²．

　　(2)由已知得y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，

　　∴x₁＋(y₁²＋p²)，x₂＋(y₂²＋p²)＝(y₁²＋p²)，k₁＋k₂＝．

　　∵k＝，∴k₁＋k₂＝2k．因此直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

　　思路解析：本题第一问涉及直线与抛物线的交点，注意联立其方程消去一个未知数，利用根与系数间的关系从而达到目的；第二问在解决过程中注意充分利用点A、B在抛物线上这个已知条件．