题目内容
设抛物线y2＝2px(p＞ 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线 AC经过原点O.
思路解析：本题的解法很多，采用坐标方法进行代数推理，可以证明OA与OC的斜率相等，证明AO+OC=AC，证明OC与BF的交点A在抛物线上，证明AC的方程形如y=φ(p)x，等等，每种证明又有不同的表述形式，甚至可以用参数方程法，采用平面几何方法进行推理. 证法一：如图所示， 因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F（ 若记A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1,y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2. 因为BC∥x轴，且点C在准线x=- 故直线CO的斜率为 k= 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O. 证法二：设A(x1,y1)，B(x2,y2). 因为BC∥x轴，所以C（- 因为A、B在抛物线上， 所以y12=2px1,y22=2px2. 又因为直线AB过焦点F， 所以kAF=kBF，即 所以 所以y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2). 因为y1≠y2，所以y1y2=-p2. 因为kOC= 所以直线AC经过原点O. 证法三：因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为（ 所以设直线AB的方程为x=ky+ 由 消去x得y2-2pky-p2=0. 所以yA·yB=-p2. 因为A（ 所以直线AC的方程为 化简得y= 显然，原点O适合此方程，所以原点O在直线AC上. 证法四：设B（a，b），则C(- 所以直线BF的方程为y(a- 直线OC的方程为y=- 所以 消y得- 所以 因为B在抛物线y2=2px上，所以b2=2ap. 所以A′( 所以(- 所以A′在抛物线y2=2px上.所以A′与A重合，即直线AC经过原点O. 证法五：如下图所示，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC. 连结AC，与EF相交于点N，则 根据抛物线的性质,得|AF|=|AD|，|BF|=|BC|. 所以|EN|= 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O. 证法六：如下图所示， 设准线交x轴于点E，过A点作AM⊥x轴于M. 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则C（- 由证法二知y1= 又 所以 故A、O、C三点共线，即直线AC过原点O.
，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+
，代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0.
上，所以点C的坐标为（-
，y2）.
=
=
,
，y2）.
=
.
.
=
=
=
=kOA,
,0），
.
,yA）,C(-
,yB),即C(-
,-
)，
=
.
x.
,b)，F(
,0),
)=b(x-
)，
x.
x(a-
)=b(x-
).
所以A′(
，-
).
，-
).
)2=
=2p·
.
，
.
=
=|NF|,
,y2）,所以
=
.
，
，
=
.所以△AOM∽△COE.所以∠AOM=∠COE.
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