Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若

b

=(1，1)，且

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设

c

=λ

a

=（λ，2λ），由|

c

|=2

5

，可得 λ²+4λ²=20，解方程求得λ 值．
（2）求出

a

+λ

b

=（λ+1，λ+2），由

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角可得

a

•（

a

+λ

b

）＞0，解得λ的范围，
而当

a

与

a

+λ

b

共线且方向相同时，求出对应的λ的值，从而得到λ的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

c

∥

a

，故可设

c

=λ

a

=（λ，2λ），由|

c

|=2

5

，可得 λ²+4λ²=20，
解得 λ=±2，
∴

c

=（2，4）或（-2，-4）．
（2）∵

a

=（1，2），

b

=(1，1)，
∴

a

+λ

b

=（λ+1，λ+2），
∵

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角，
∴

a

•（

a

+λ

b

）＞0，
∴λ+1+2λ+4＞0，λ＞-

5

3

．
而当

a

与

a

+λ

b

共线且方向相同时，（λ+1，λ+2）=k（1，2），k＞0，
解得 λ=0，
故λ的取值范围为（-

5

3

，0）∪（0，+∞）．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．