题目内容
数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-
bn(n∈N*)，
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
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（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
分析：（1）依题意，解方程x2-12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{an}的通项公式；由Tn=1-
bn可求得数列{bn}的通项公式；
（2）cn=an•bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Sn．
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（2）cn=an•bn，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）∵等差数列{an}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，
∴a2=3，a5=9．
∴d=
=2，
∴an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{bn}中，Tn=1-
bn，①
∴Tn+1=1-
bn+1，②
②-①得：
=
，又T1=1-
b1=b1，
∴b1=
，
∴数列{bn}是以
为首项，
为公比的等比数列，
∴bn=
•(
)n-1；
综上所述，an=2n-1，bn=
•(
)n-1；
（2）∵cn=an•bn=（2n-1）•
•(
)n-1，
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×
+3×
×
+…+（2n-1）×
×(
)n-1，③
∴
Sn=
×
+3×
×(
)2+…+（2n-3）×
×(
)n-1+（2n-1）×
×(
)n，④
∴③-④得：
Sn=
+
[
+(
)2+(
)3+…+(
)n-1]-（2n-1）×
×(
)n，
Sn=1+2[
+(
)2+(
)3+…+(
)n-1]-（2n-1）×(
)n
=1+2×
-（2n-1）×(
)n
=2-
×(
)n-1
=2-（2n+2）×(
)n．
∴a2=3，a5=9．
∴d=
| 9-3 |
| 5-2 |
∴an=a2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{bn}中，Tn=1-
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∴Tn+1=1-
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| 2 |
②-①得：
| bn+1 |
| bn |
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| 3 |
| 1 |
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∴b1=
| 2 |
| 3 |
∴数列{bn}是以
| 2 |
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| 1 |
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∴bn=
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| 3 |
综上所述，an=2n-1，bn=
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| 3 |
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| 3 |
（2）∵cn=an•bn=（2n-1）•
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| 1 |
| 3 |
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
=1×
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| 2 |
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∴
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∴③-④得：
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Sn=1+2[
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=1+2×
| ||||
1-
|
| 1 |
| 3 |
=2-
| 2n+2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
=2-（2n+2）×(
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和，属于中档题．
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