Question

11．设0≤x≤2，y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5，试求该函数的最值．

Answer 1

分析 由指数函数的单调性，可得t=2^x∈[1，4]，运用配方可得y=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，由对称轴和区间的关系，计算即可得到最值．

解答 解：0≤x≤2，即有t=2^x∈[1，4]，
即有函数y=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，
对称轴t=3，由于3∈[1，4]，
即有t=3，即x=log₂3，函数取得最小值$\frac{1}{2}$；
当t=1，即x=0时，函数取得最大值$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．