Question

6．已知数列{a_n}的通项满足a₁=1，且a_n+1=a_n+n+2ⁿ，则a_n=（　　）

• A． $\frac{n（n-1）}{2}$+2^n-1-1
• B． $\frac{n（n-1）}{2}$+2ⁿ-1
• C． $\frac{n（n+1）}{2}$+2^n-1-1
• D． $\frac{n（n+1）}{2}$+2ⁿ-1

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+n+2ⁿ，可得a_n+1-a_n=n+2ⁿ，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=n+2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[n-1+2^n-1]+[n-2+2^n-2]+…+（1+2）+1
=[（n-1）+（n-2）+…+1]+（2^n-1+2^n-2+…+2+1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+2ⁿ-1，
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“累加求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．