Question

20．设数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，记数列{a_n}的前n项之积为T_n，则T₂₀₁₅的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，a₁=2，可求数列的前几项，进而可得数列的周期性规律，代入即可求得答案．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
得${a}_{2}=1-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{3}=1-\frac{1}{{a}_{2}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{3}}=1-\frac{1}{-1}=2$．
由上可知，数列的项重复出现，呈现周期性，周期为3．
且T₃=a₁a₂a₃=-1，2015=3×671+2，
∴T₂₀₁₅=（-1）⁶⁷¹•a₁a₂=-1．
故选：B．

点评 本题考查数列的递推公式，数列的函数性质--周期性．发现周期性并利用是本题的关键，是中档题．