Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln

n+2

2

；
（III）证明：

n

2

-(

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

)＜ln

n+1

．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，计算前几项，猜想数列的通项，再利用数学归纳法证明；
（II）证明当x＞0时，ln（1+x）＜x，令x=

1

k+1

(k=1，2，…，n)得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

，即ln(k+2)-ln(k+1)＜

1

k+1

，从而可得ln

n+2

2

＜

n

k=1

1

k+1

，由此可证得结论；
（III）由柯西不等式，要证

n

2

-

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

＜ln

n+1

，即证 

n

2

-ln

n+1

＜(a1+…+an)2，即证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln(n+1)，构建函数f(x)=ln(1+x)-

x

1+x

，证明当x＞0时，ln(1+x)＞

x

1+x

，取x=

1

k

(k=1，2，3，…，n)得ln

k+1

k

＞

1

k+1

，由此可证得结论．

解答：（I）解：由a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

得a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，…，猜想：an=

n

n+1

下面用数学归纳法证明猜想：an=

n

n+1

(n∈N*)成立．
（ⅰ）当n=1时，a1=

1

2

，猜想成立；
（ⅱ）假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即ak=

k

k+1

；
那么当n=k+1时，ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

，从而n=k+1时猜想成立．
综合（ⅰ），（ⅱ）知：猜想成立．即数列的通项公式为an=

n

n+1

．
（II）证明：当x＞0时，构造函数g（x）=ln（1+x）-x，则g′（x）=

-x

1+x

＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调减
∴g（x）＜g（0），∴ln（1+x）＜x；
所以令x=

1

k+1

(k=1，2，…，n)得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

，即ln(k+2)-ln(k+1)＜

1

k+1

，
∴

n

k=1

[ln(k+2)-ln(k+1)]＜

n

k=1

1

k+1

，于是ln

n+2

2

＜

n

k=1

1

k+1

，
从而 n-ln

n+2

2

＞

n

k=1

(1-

1

k+1

)=

n

k=1

ak
∴a1+a2+…+an＜n-ln

n+2

2

（III）证明：由柯西不等式得：(

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

)[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+a1)]＞(a1+…+an)2
所以要证

n

2

-

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

＜ln

n+1

即证 

n

2

-ln

n+1

＜(a1+…+an)2，也就是需证：n-ln(n+1)＜

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

，
即证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln(n+1)；
因为函数f(x)=ln(1+x)-

x

1+x

的导函数f′(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

当x＞0时，f′（x）＞0，所以当x＞0时，ln(1+x)＞

x

1+x

，
取x=

1

k

(k=1，2，3，…，n)得ln

k+1

k

＞

1

k+1

∴

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

k+1

，所以 

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

＜ln(n+1)．
∴

n

2

-(

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

)＜ln

n+1

点评：本题考查数列递推式，考查数列与不等式的综合，考查不等式的证明，考查导数知识，综合性强，属于难题．