题目内容

数列{an}满足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),则m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整数部分是(  )
分析:由已知a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),可得an+1-an>0,得到数列{an}单调递增.再变形为an+1-1=an(an-1),即
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
,也即
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1
.利用“裂项求和”可得m,再利用其单调性即可得出m的整数部分.
解答:解:∵a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),∴an+1-an=(an-1)2>0,∴an+1>an,∴数列{an}单调递增.
∴an+1-1=an(an-1)>0,
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
,∴
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1

∴Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=(
1
a1-1
-
1
a2-1
)+(
1
a2-1
-
1
a3-1
)
+…+(
1
an-1
-
1
an+1-1
)

=
1
a1-1
-
1
an+1-1
=3-
1
an+1-1

∴m=S2013=3-
1
a2014-1

a1=
4
3
,∴a2=(
4
3
)2-
4
3
+1
=
13
9
,∴a3=(
13
9
)2-
13
9
+1
=
133
81
,∴a4=(
133
81
)2-
133
81
+1
=
133
81
×
52
81
+1
=
6916
6561
+1>2

∵a2014>a4>2,∴a2014-1>1,∴0<
1
a2014-1
<1
,∴2<3-
1
a2014-1
<3

因此m的整数部分是2.
故选B
点评:本题考查了通过恰当变形转化为“裂项求和”、数列的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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