Question

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+

1

an

，n=1，2，….
（I）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=

lim

n→∞

an（将A用a表示）；
（II）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：bn+1=-

bn

A(bn+A)

；
（III）若|bn|≤

1

2n

对n=1，2，…都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由

lim

n→∞

an存在，且A=

lim

n→∞

an(A＞0)，对an+1=a+

1

an

两边取极限得A=a+

1

A

，解得A=

a± a2+4

2

．又A＞0，∴A=

a+ a2+4

2

.
（II）由an=bn+A，an+1=a+

1

an

得bn+1+A=a+

1

bn+A

.由此可知bn+1=-

bn

A(bn+A)

．
（III）令|b1|≤

1

2

，得|a-

1

2

(a+

a2+4

)|≤

1

2

.所以|

1

2

(

a2+4

-a)|≤

1

2

.由此可求出a的取值范围．

解答：解：（I）由

lim

n→∞

an存在，且A=

lim

n→∞

an(A＞0)，对an+1=a+

1

an

两边取极限得A=a+

1

A

，解得A=

a± a2+4

2

．又A＞0，∴A=

a+ a2+4

2

.
（II）由an=bn+A，an+1=a+

1

an

得bn+1+A=a+

1

bn+A

.∴bn+1=a-A+

1

bn+A

=-

1

A

+

1

bn+A

=-

bn

A(bn+A)

.
即bn+1=-

bn

A( b   n +A)

对n=1，2，都成立
（III）令|b1|≤

1

2

，得|a-

1

2

(a+

a2+4

)|≤

1

2

.
∴|

1

2

(

a2+4

-a)|≤

1

2

.
∴

a2+4

-a≤1，解得a≥

3

2

.
现证明当a≥

3

2

时，|bn|≤

1

2n

对n=1，2，都成立.
（i）当n=1时结论成立（已验证）．
（ii）假设当n=k(k≥1)时结论成立，即|bk|≤

1

2k

，那么|bk+1|=

|bk|

|A(bk+A)|

≤

1

A|bk+A|

×

1

2k

故只须证明

1

A|bk+A|

≤

1

2

，即证A|bk+A|≥2对a≥

3

2

成立.
由于A=

a+ a2+4

2

=

2

a2+4 -a

，
而当a≥

3

2

时，

a2+4

-a≤1，∴A≥2.
∴|bk+A|≥A-|bk|≥2-

1

2k

≥1，即A|bk+A|≥2.
故当a≥

3

2

时，|bk+1|≤

1

2

×

1

2k

=

1

2k+1

.
即n=k+1时结论成立．
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立．
故|bn|≤

1

2n

对n=1，2，都成立的a的取值范围为[

3

2

，+∞).

点评：本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．