Question

1．已知f（x）=x³-x²-x+3，x∈[-1，2]，f（x）-m＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：f（x）=x³-x²-x+3，x∈[-1，2]，
f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在[-1，-$\frac{1}{3}$）递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，2]递增，
∴f（x）的最大值是f（-$\frac{1}{3}$）或f（2），
而f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{80}{27}$，f（2）=5，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值是5，
若f（x）-m＜0恒成立，
只需m＞5即可．

点评 本题考查了求函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．