Question

12．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AC=2，$∠ACB=∠ACD=\frac{π}{3}$
（1）证明：AP⊥BD．
（2）若AP=$\sqrt{7}$，且三棱锥B-APC的体积为2时，求二面角A-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．可得BD⊥AC．再利用面面垂直的性质可得BD⊥平面PAC，即可证明．
（2）以O为坐标原点，建立直角坐标系，求出平面ABP、平面ABP的法向量，利用夹角公式求出二面角A-BP-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ACD=$\frac{π}{3}$，BC=CD．∴BD⊥AC
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AP．…（5分）
（2）解：作PE⊥AC，则PE⊥平面ABC．
∵三棱锥B-APC的体积为2，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$×PE=2，
∴PE=$\sqrt{3}$．
以O为坐标原点，建立直角坐标系，则OC=CDcos$\frac{π}{3}$=1 
而AC=4，得AO=AC-OC=3，
又OD=CDsin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A（0，-3，0），D（-$\sqrt{3}$，0，0）
则P（0，-1，$\sqrt{3}$）
所以$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0）．…（8分）
设平面ABP的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y=0}\\{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，因此可取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
同理可得：平面BPC的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，3，2$\sqrt{3}$）
从而法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$
故二面角A-BP-C的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量的夹角关系、线面垂直的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．