Question

已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为圆H．对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．

解答： 解：由题意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），
∴AB的垂直平分线是x=0，
∵BC：y=x-1，BC的中点是（2，1），
∴BC的垂直平分线是y=-x+3．
由

x=0 y=-x+3

，得到圆心H是（0，3），∴r=

10

，
则直线BH的方程为3x+y-3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（

m+x

2

，

n+y

2

），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以

(x-3)2+(y-2)2=r2 ( m+x 2 -3)2+( n+y 2 -2)2=r2

，
即

(x-3)2+(y-2)2=r2 (x+m-6)2+(y+n-4)2=4r2

，
因为上式是关于x，y的方程组有解，
即以（3，2）为圆心，r为半径的圆，
与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，
所以（2r-r）²＜（3-6+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²＜10m²-12m+10＜9r²对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域为[

32

5

，10]，
又线段BH与圆C无公共点，
所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²对任意m∈[0，1]成立，即r²＜

32

5

．
10m²-12m+10＜9r²对任意m∈[0，1]成立，则有r²＞

10

9

，
故圆C的半径r的取值范围为（

10

3

，

4 10

5

）．
故答案为：（

10

3

，

4 10

5

）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．