Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F的直线l与双曲线C的右支交于点P，与x²+y²=a²恰好切于线段FP的中点M，则直线l的斜率为（　　）

• A．

  b

  a

• B．

  2

• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：设双曲线的右焦点为F'，由三角形中位线定理可得|PF₁|=2|OM|=2a，结合双曲线的定义：|PF|-|PF₁|=2a，算出|PF|=4a，最后在Rt△PFF'中利用三角函数的定义，算出∠PFF'的正切值，可得直线l的斜率．

解答：解：设双曲线的右焦点为F'，
∵原点O为FF'的中点，线段FP的中点为M，
∴OM为△PFF'的中位线，可得|PF'|=2|OM|=2a，
∵由双曲线的定义可知：|PF|-|PF'|=2a，
∴|PF|=|PF'|+2a=4a，
由OM⊥PF，可得PF'⊥PF，
∴Rt△PFF'中，tan∠PFF'=

|PF′|

|PF|

=

1

2

，即直线l的斜率为

1

2

．
故选：D

点评：本题给出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条焦半径与圆x²+y²=a²恰好相切于它的中点，求焦半径所在直线的斜率．着重考查了直线的斜率、双曲线的定义与标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．