Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线C的离心率是（　　）

• A．

  2 3

  3

• B．

  3

• C．2
• D．

  2

Answer 1

分析：求双曲线C的一条渐近线与过焦点F的与之垂直的直线的交点，该交点在线段OF的垂直平分线上，可求得双曲线C的离心率．

解答：解：∵

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=

b

a

x，
∵过其焦点F（c，0）的直线l与y=

b

a

x垂直，
∴l的方程为：y=-

a

b

（x-c），
∴由

y= b a x y=- a b (x-c)

得垂足的横坐标x=

a2c

a2+b2

=

a2c

c2

=

a2

c

，
∵垂足恰好在线段OF的垂直平分线x=

c

2

上，
∴

a2

c

=

c

2

，
∴

c2

a2

=2，
∴双曲线C的离心率e=

2

．
故选D．

点评：考查双曲线的简单性质，求得一条渐近线与过焦点F的与之垂直的直线的交点是关键，考查解方程组的能力，属于中档题．