题目内容

若函数 $数学公式$ 是R上的奇函数
（1）求a的值，并利用定义证明函数f（x）在R上单调递增；
（2）解不等式： $数学公式$ ．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ 是R上的奇函数，
∴f（0）=0，解得a=2…2分
∴f（x）= $\text{[math]}$ ．
证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ …3分
= $\text{[math]}$ …5分
∵y=2^x是R上的增函数，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0，而（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增…7分
（2）由f（-2）+f（ $\text{[math]}$ ）≥0，且f（x）是R上的奇函数可得：f（ $\text{[math]}$ ）≥f（2）…8分
又f（x）在R上单调递增，
∴ $\text{[math]}$ ≥2…9分
解得0＜x≤8…11分
∴不等式的解集是{x|0＜x≤8}…12分
分析：（1）依题意，f（0）=0可求得a，从而可得f（x）的解析式，设x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化积判断符号即可结论；
（2）利用f（x）为R上的奇函数，且在R上单调递增，将f（-2）+f（ $\text{[math]}$ ）≥0转化为 $\text{[math]}$ ≥2，解之即可．
点评：本题考查函数单调性的证明，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查分析与推理运算能力，属于难题．