Question

【题目】如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）要证线面垂直，一般先证线线垂直，这里由已知的面面垂直可得，另外可由直角梯形的条件证得；

（2）本小题相当于求二面角，因此我们以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设出点坐标，然后求出平面与平面的法向量，由法向量的夹角的余弦表示出二面角的余弦，最后由函数的性质可求得其取值范围．

试题解析：（1）证明：在梯形中，

∵，，，∴，

∴，

∴，∴，∴平面平面，平面平面，平面，∴平面

（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，

令，则，

∴.

设为平面的一个法向量，

由，得，

取，则，

∵是平面的一个法向量，

∴.

∵，∴当时，有最小值，

当时，有最大值，∴