Question

已知函数g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1

x

-lnx (m∈R)
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）函数是为单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）求导 得到 g'（x）=-

1

sinθx2

+

1

x

≥0   在x≥1时成立
∴

1

x

≥

1

sinθx2

∴1≥

1

sinθ•x

∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0
∴sinθx≥1
∴sinθ=1  θ=

π

2

（2）．（f（x）-g（x））′=m+

m-1

x2

-

1

x

+

1

x2

-

1

x

=m+

m

x2

-

2

x

使其为单调
∴h（x）=m+

m

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m

x2

，在x≥1时
m=0时  h（x）＜0恒成立．
m≠0时
对于h（x）=

mx2-2x+m

x2

，令 K（x）=mx²-2x+m=0的形式求解
因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时 对称轴x=

1

m

所以使K（1）≥0则成立所以m-2+m≥0
所以m≥1
m＜0时   使K（1）≤0  所以m≤-1
综上所述 m=0或m≥1或m≤-1