Question

13．在扇形OAB中，∠AOB=105°，C为弧AB上一个动点，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则x+$\sqrt{2}$y的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 可画出图形，然后做CD∥OB，CE∥OA，分别交于OA，OB于D，E，可以说明$x=\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|}，y=\frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{OB}|}$，而OA，OB都是扇形的半径，从而当C从A运动到B时，$|\overrightarrow{OD}|，|\overrightarrow{OE}|$的变化便反映了x，y的变化，而再由y的系数较大，由图形便可看出C与A重合时，x$+\sqrt{2}y$取到最小值1，而当∠AOC=60°时，$x+\sqrt{2}y$便取到最大值2，这样便得出了x+$\sqrt{2}$y的取值范围．

解答 解：如图，过C作CD∥OB，交OA于D，作CE∥OA，交OB于E，则四边形OECD为平行四边形；

∴$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}$，又$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$x\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}，y\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OE}$；
∴$x=\frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|}，y=\frac{|\overrightarrow{OE}|}{|\overrightarrow{OB}|}$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$=r；
∴$|\overrightarrow{OD}|，|\overrightarrow{OE}|$的大小反映了x，y的大小；
又y系数较大，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，$|\overrightarrow{OD}|$变短，而$|\overrightarrow{OE}|$变长；
∴由图形可看出：当C和A重合时，x取最大值1，y取最小值0，∴x$+\sqrt{2}y$取到最小值1；
当∠AOC=60°时，x=$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$，$y=\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$，∴$x+\sqrt{2}y$取到最大值2；
∴$x+\sqrt{2}y$的取值范围为[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，结合图形解决问题的方法．